证明N→R之间的映射是双射

证明N→R之间的映射是双射

我在上一篇博文中证明了从实数R到自然数N(R→N)之间的映射是双射。

当然，也很容易反过来证明N→R之间的映射是双射。

命题:从自然数N到实数R的映射是双射。

证明 设f是自变量取值于自然数，因变量取值于[0，1)内的实数的随机函数，第一次取到的实数r1=f(1)与自然数1对应，第二次取到的另一个实数r2=f(2)与自然数2对应……(如果某一次取到的数以前已经正好取到过，这次操作就算作废，必须重新取)，这样我们就建立起了N→R的单射:∀n1，n2∈N(n1≠n2)，➪f(n1)≠f(n2)且∀n∈N，⺕！r∈R，使得r=f(n) 。由于f是随机函数，所以不可能有一个数是永远取不到的，或者说没有一个人能找出某一个具体的小数是用随机方法永远找不到的，即表达式∃r∈R，∀n∈N 使得 f(n) ≠ r是错的∴其否定式:∀r∈R，∃n∈N 使得 f(n) = r成立，这样我们就证明了从自然数到实数的上述单射也是滿射。证毕

说明：有的人可能对于随机取数有疑惑，实际上，无论是康托的对角线证明还是闭区间套证明，都是先把实数随机一一列出的。区别在于康托用随机取出来的数证明了实数不可数，而我用随机取出来的数证明了实数可数。康托的证明并不严格，以对角线论证为例，由于对角线只存在于无限大的正方形矩阵中，康托只在正方矩阵中，”螺丝壳里做道场”，″证明”了小数不能与表示小数位数的列标集一一对应，并没有证明小数不能与表示小数个数的无限大长方形矩阵里面的行标集一一对应。因此，所谓对角线论证是人类思想史上谬误最大、流毒最广的″证明”之一。详见